중심극한정리(Central Limit Theorem, CLT)는 동일한 확률분포를 가진 독립 확률 변수 n개의
평균의 분포는 n이 적당히 크다면 정규분포에 가까워진다는 정리이다.
수학자 피에르시몽 라플라스는 1774년에서 1786년 사이의 일련의 논문에서 이러한 정리의 발견하였다.

이 정리는 , 즉 분산이 유한한 모집단에서 선택한 랜덤 표본의 평균 분포는
모집단 분포의 모양에 관계없이 표본 크기가 클 때 거의 정규 분포를 따르는 것을 말한다.
수많은 공통 통계 절차에는 정규 데이터가 필요하지만, 중심 극한 정리를 사용하면 상당히 비정규적인
모집단에도 이와 같이 유용한 절차를 적용할 수 있다.

주사위를 n개 흔들 때 나오는 눈의 합 S n = X 1 + ... + X n의 분포가 n이 확대됨에 따라 정규 분포에
의한 근사치에 접근한 모습은 다음과 같다.

필요한 표본 크기는 원래 분포의 모양에 따라 달라진다.
모집단의 분포가 대칭인 경우 표본 크기가 n=5 이면 적절하다.
모집단의 분포가 극히 비대칭인 경우에는 표본 크기가 n=50 이상으로 더 커야 한다.

다음 그래프는 분포가 필요한 표본 크기에 미치는 영향의 예를 보여준다.

  균등 분포                                                      표본 평균

균등 분포를 따르는 모집단은 대칭이지만 첫 번째 히스토그램에서 보듯이 매우 비정규적이다.
그러나 이 모집단에서 선택한 1000개 표본 평균(n=5)의 분포는, 중심 극한 정리에 따라 두 번째
히스토그램에서 보듯이 거의 정규 분포를 따른다.

지수 분포                                                  표본 평균

지수 분포를 따르는 모집단은 첫 번째 히스토그램에서 보듯이 비대칭이고 비정규적이다.
그러나 이 모집단에서 선택한 크기가 n=50인 1,000개 표본 평균의 분포는 중심 극한 정리에 따라
두 번째 히스토그램에서 보듯이 거의 정규 분포를 따른다.