여러분이 장거리 달리기 시합의 결승점 가까이에서 선수들을 지켜보고 있다고 상상해 보자.
상위권으로 골인하는 빠른 선수들 간의 결승점 통과시간의 차이는 매우 적을 것이다.

그런 다음 가장 하위권의 선수들이 골인하는 순간까지 기다린다.
이 하위권의 느린 선수들 간의 결승점 통과시간의 차이는 매우 클 것이다. 
이것은 경기 시간이 길어질수록 스피드의 작은 차이가 완주시간에 큰 영향을 미치기 때문에
빠른 선수들의 경우 스피드의 작은 차이는 도착시간에 적게 영향을 미치게 된다.

이런 현상을 "이분산성"이라 한다. 이 사례에서 변동은 평균 완주시간이 짧으면 변동이 작고
평균 완주시간이 길면 변동은 커진다. 즉, 변동의 크기가 평균치에 좌우된다

달리기 시간에 대한 분포는 익숙한 종모양의 정규분포를 따를 것 같지 않아 보인다.
결과 분포의 모습은 오른쪽으로 긴 꼬리를 가지는 비대칭적인 모습이 될 것이다.
왜냐하면 달리기 시간이 짧은 왼족부분은 변동이 작고 오래동안 달린 오른쪽 시간부분에서
변동이 크고 꼬리가 길게 될 것이기 때문이다.

이런 분포의 모습이 관찰되었을 때 올바른 분포의 유형을 찾는 것이 가장 바람직하다.
그런데, Box-Cox 변환을 통해 관측된 데이터를 정규분포의 모습으로 변환시키는 것도
또 다른 방법중의 하나이다.

먼저 아래의 비대칭적인 분포의 모습을 고려해서 살펴보자.

만일 이 분포에 대해서 로그변환이 적용되면 작은값들 사이의 차이는 넓혀주는 반면
큰 값들 간의 차이는 줄여주게 된다. 여기서 왼쪽 꼬리 부분의 경사를 좀더 펼쳐주고
오른쪽 꼬리 부분의 경사를 조금 줄여주게 되면 그 결과 좌우대칭인 정규분포의 모습을
가지게 될 것이고 평균값이 어떻게 되든 변동은 이제 일정하게 된다.

이것이 정규분포하지 않은 데이터에 대해 언제든지 Box-Cox 변환을 하도록 제안하는 이유이다.
보통의 통계 프로그램은 로그변환이 필요하지 않은 경우에는 최적의 변환함수를 찾아준다.

그런데 Box-Cox 변환을 하게되면 물리적인 눈금도 변환된다. 그러므로 변환 후의
그래프에 나타나는 Target, LSL, USL 값들은 원래 명시했던 규격값이 아님을 기억하고
그렇지만 공정능력값(Z, Pp, Ppk) 지표들은 정규분포를 기준으로 계산된 믿을 만한
값을 얻을 수 있다.