Tolerance Analysis는 Loop diagram 분석을 통하여 다음과 같은 간단한 +, - 만으로 이루어진 식을 사용한다.
Y = F(X's) = X₁ + X₂ + ... + X_n와 같은 수학적 관계식을 바로 이용하여 우리가 개발중인 Beta Design의 미래
품질수준 분석에 대한 수학적 접근방법이 Statistical Design Analysis 방법이다. 이 방법은 변수(X's)의
미소 변화에 대한 함수, Y=F(X's)의 근사치를 구하기 위해서 테일러 전개식(Taylor expansion)을 이용한다

   

테일러 전개식(Taylor expansion) 방법은 Y=F(X's)의 수학적 방정식을 편미분이라는 방법을 통하여 표준편차를
구하는 방법이다. 먼저 간단한 예제를 같이 살펴보자.
Y±α = F(X's) = X₁ + X₂ + X₃ 의 수식에서 Y에 대한 표준편차는 다음과 같은 편미분 방법으로 구할 수 있으며,
Y에 대한 표준편차만 구해지면 Y의 Spec.값(Y±α)과 Y의 표준편차를 사용하여 Y의 Z값을 계산할 수 있다
    ■ σ_Y² = (∂(Y/∂(X₁))²σ₁² + (∂(X₁ + X₂ + X₃)/∂(X₂))²σ₂² + (∂(X₁ + X₂ + X₃)/∂(X₃))²σ₃²
    ■ σ_Y² = σ₁² + σ₂² + σ₃²
    ■ σ_Y = (σ₁² + σ₂² + σ₃² )^0.5

그러면, 여기서 다음과 같은 좀더 복잡한 수학적 표현을 만난다면 어떻게 대처해야 할까?
Y = F(X's) = X₁ * X₂, Y = F(X's) = mX + b, Y = F(T's) = T_i + T_r(1 - e^-t/T)

   

예를들어, F = kΔX라고 정의되어 있는 스프링에 대한 후크의 법칙(Hooke's law)을 살펴보면,
스프링에 힘을 가하면 그 힘의 크기가 일정한 한도내라면, 그 힘의 크기에 비례하여 스프링은 늘어난다.
힘의 크기를 F, 늘어나는 길이를 X라 하면, F = kΔX가 성립하하고, k를 스프링 상수라 하는데
실제로 상수가 아니며 약간의 변동이 있다.
코일 스프링의 k값은 스프링 선경의 4승에 비례하고, 스프링 자체 지름의 3승에 반비례하며,
스프링 재료의 비틀림 강도에 비례하는 관계를 가지고 있기 때문에 k는 상수값이 아니다.

그러므로 스프링의 힘의 크기 F±α에 대한 표준편차는 테일러 전개식(Taylor expansion)을 이용하여,
    ■ σ_F² = (∂(kΔX)/∂(k))²σ_k² + (∂(kΔX)/∂(ΔX))²σ_ΔX²
    ■ σ_F² = ΔX²σ_k² + k²σ_ΔX²
    ■ σ_F = (ΔX²σ_k² + k²σ_ΔX² )^0.5 으로 구할 수 있게된다
여기에서도 힘 Y에 대한 표준편차가 구해졌으므로 Y의 Spec.값(Y±α)과 Y의 표준편차를 사용하여
Y의 품질수준을 Z값의 계산을 통하여 예측 및 최적화 할 수 있다