체질량지수(BMI)를 이용하여 체지방률 예측하기 위하여 일반회귀분석(General Regression)을
사용해 보자. 일반회귀분석(General Regression)을 사용하면 예측을 하기 위해 매우 중요한
R-Sq(pred)값을 추가적으로 구할 수 있다. R-Sq(pred)값은 새로운 관측값에 대해 얼마나 잘
모형을 잘 예측할 수 있는지 알려주는 값이다.

분석중인 모형의 R-Sq(pred)값은 74.14% 이며, R-Sq 값인 76.06%에 아주 근접한 값을 보이므로
이 모형은 예측을 위해 타당함을 나타낸다.

그렇지만, R-Sq 값은 괜찮은 편이지만 R-Sq(pred)값이 심각하게 낮은 값을 나타내면 원래 데이터에는
잘 맞지만 예측을 위해서는 적합하지 못하다는 것을 의미하며, 분석중인 모형이 너무 복잡하고
데이터 속에 Noise가 포함되어 있을 때 이런 경향이 나타난다.  이런 경우를 '과적합 모형'이라고
하며 우리가 예측을 하기 전에 반드시 R-Sq(pred)값을 확인하여 과적합여부를 반드시 확인해야 한다.

예측을 하기 전에 몇 가지 중요한 고려사항에 대해 알아보자.
회귀분석을 통한 예측은 원래 데이터가 가지고 있는 범위내에서만 유효한 예측을 할 수 있다.
그러므로 우리는 체질량지수(BMI)값 15~35사이에서만 예측이 가능하다. 또한 예측은 원래 데이터가
보여주고 있는 모집단을 위해서만 유효한 예측 결과를 구할 수 있다. 이 경우에는 만 12~14세 사이의
여자 중학생의 모집단 데이터를 사용하고 있다.

우리가 알고 있는 것은 이 모집단을 위한 데이터 범위 내에서의 BMI값과 체지방율의 관계이다.
이 조건이외 값의 예측은 곡선의 모양이 변할 수 있으므로 예측값이 많이 다를 수 있게 된다.
바꾸어 말하면 우리가 실제로 측정한 범위를 벗어나면 우리는 예측을 할 수 없다.
새로운 예측값으로 체질량지수(BMI)값 18을 입력하면 다음 결과를 구할 수 있다.

체질량지수(BMI) 18에 대한 체지방률은 거의 23% 수준을 보여 주고 있다.
그러나, 이 예측값이 얼마나 정확할까? 그러므로 다음 두가지 구간값을 이용하여 확인해 보자

회귀분석에서 추정된 회귀직선을 이용하여 설명변수 X의 임의의 값에서 반응변수 Y가 갖는 값에
대하여 신뢰구간(CI, Confidence Interval)과 예측구간(PI, Prediction Interval)으로 각각 분석할 수 있는데,

신뢰구간(CI)은 주어진 X 값에서 Y의 평균값이 포함될 것 같은 범위를 나타내므로,
우리가 분석하고 있는 집단에서 체질량지수(BMI)가 18 인 모든 학생의 체지방률은 22.1%~23.9% (±1%)사이에
있을 것이라고 95% 확신할 수 있다.

예측구간(PI)은 주어진 X 값에서 나타날 수 있는 새로운 Y값(확률변수)에 대한 예측을 하는 방법이다.
여기서 구한 평균 체지방률은 체질량지수(BMI)가 18 일때, 어떤 특정학생의 체지방율은

15.9%~30.1% (±7%)사이에 있을 것이라고 95% 확신할 수 있다.

예측구간(PI)은 항상 신뢰구간(CI)보다 폭이 넓은 신뢰구간을 가지는 이유는 집단의 평균값에 비해
특정한 한 값을 예측하는데 불확실성이 추가로 포함되기 때문이다.

통계분석에 의한 체지방률을 곡선회귀모형으로 나타내어 보면 다음과 같다.

체질량지수(BMI)를 이용하여 체지방률 예측하는 방법을 알아보았다.
그렇지만 주의해야 할 점은 이 결과를 모든 모집단에서 광법위하게 사용할 수 있는 것이 아니라
오직 여기에 사용한 여자 중학생 모집단에 대해서만 예측 가능하다는 사실이다.

이러한 예시를 통해서 어떤 Group을 모집단으로 삼고 표본에 대한 체질량지수(BMI)와 실측 체지방률 데이터를
충분히 획보한 다음에는 동일한 모집단 내의 해당범위 내에 해당하는 개인에 대한 예측 체지방률을
구할 수 있게 된다.