중심극한정리(Central Limit Theorem, CLT)는 동일한 확률분포를 가진 독립 확률 변수
n개의 평균값은 n이 적당히 크다면 정규분포에 가까워진다는 정리이다.

수학자 피에르시몽 라플라스는 1774년에서 1786년 사이의 일련의 논문에서 이러한 정리의
발견과 증명을 시도하였다. 확률과 통계학에서 큰 의미가 있으며 실용적인 면에서도
품질관리, 식스 시그마에서 많이 이용된다.

예를 들어, 가구당 수입의 분포가 정규분포를 따르지 않고, 형상모수(Shape, β)=1.5,
척도모수(Scale, η)=50 인 와이블 분포를 따른다고 보고되고 있다.
와이블 분포가 무엇인지, 형상모수, 척도모수가 무엇인지 모를 수도 있지만
와이블 분포의 모습이 특정한 경우를 제외하고는 정규분포와 같은 종모양의 분포를
띠는 것이 아니라 아래의 그래프같은 특성을 지닌다

여기서, 위에서 언급한 와이블 분포의 특성을 가지는 샘플 다섯개를 확보하고 평균을
계산한다고 가정해 보자. 그리고 이 작업을 300번 반복한 결과의 300개의 평균값을
히스토그램으로 그려보면 다음 그래프와 같은 모습을 띤다. 샘플 평균의 그래프는 정규분포를
따른다고 보이기 보다는 오른쪽으로 완만한 경사를 가지는 분포의 모습이지만 앞에서 보았던
와이블 분포와는 다른 모습인 것을 발견할 수 있다.

그러면, 동일한 와이블 분포 특성을 가지는 샘플크기 50개로 이루어진 평균값을 구해보자.
앞에서와 마찬가지로 50개의 평균값 300개를 확보하여 다시 히스토그램을 그려보면
앞에서의 히스토그램보다는 훨씬 정규분포의 종모양 형상을 닮아가고 있음을 볼 수 있다.

그렇다면, 중심극한정리는 왜 이렇게 중요할까?
통계수업을 듣는 남학생과 여학생의 성적 분포가 다음과 같은 분포를 띤다고 하면,
이 분포를 보고 남학생과 여학생 중 어느 그룹이 성적이 좋은지 쉽게 판단할 수 있을까?

이제 다음과 같이 두 분포가 모두 정규분포를 띤다고 가정해 보면,
이제는 눈대중으로도 두 그룹의 특성을 비교하기가 한결 수월해졌다.

이와같이 중심극한정리에 의해 두 그룹의 측정치가 정규분포를 띤다고 가정할 수 있다면
그 평균을 비교함으로써 두 그룹의 차이를 쉽게 비교할 수 있게 된다.

개선작업에서 만나는 많은 모형들은 자료의 분포가 정규분포 전제가 필요한 경우가 많으므로,
데이터의 정규성을 판단하는 것은 매우 중요한 일이다.

또한, 모집단의 분포를 알지 못하는 경우에도 표본수 n이 충분히 크다면 중심극한정리에 의해
표본의 분포는 정규성을 띤다고 가정할 수 있으며, 이러한 정규성 가정을 통해 다양한
확률분포를 통계 검정에 이용할 수 있다.