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제목 베이즈 정리(Bayes' theorem)를 통한 사후확률 구하기
등록일 2015-05-08



베이즈 정리는 두 확률 변수의 사전 확률과 사후 확률 사이의 관계를 나타내는 정리로,

베이지안 확률론 해석에 따르면
베이즈 정리는 새로운 근거가 제시될 때 사후 확률이 어떻게 갱신되는지를 구한다.

 



 

베이즈정리를 그 수식만으로 온전히 이해하는 데에는 상당한 어려움이 따르므로,

친숙한 예를 들기 위해 1부터 6까지의
눈이 새겨진 보통의 주사위를 생각해 보자.

그리고 "5의 눈이 나온다"를 "A"라는 기호로 나타내고,

"홀수의 눈이 나온다"를 "B"라는 기호로 나타내도록 하자.


우리가 해야 할 과제는 한 번 던져진 주사위의 눈을 알아맞히는 것이다.

(주사위는 옆 방에서, 내가 잘 모르는 누군가가, 공정한 조건에서 던졌다고 가정하자)

만약 우리에게 아무런 정보도 없다면, "5"라는 눈이 나왔을 확률은 6분의 1이라고
가정하는 것이 합리적이다. 이를 P(A)=1/6 로 나타내도록 하자.

 



 

이 확률은 "A"라는 사건의 발생에 대해 내가 갖고 있는 사전적인 믿음,

P(A)를 사전확률이라 부르도록 하자.
그런데 이미 내 친구가 주사위던지기의 결과를 이미 알고 있다고 해 보자.

(아마도 친구는 주사위던지기를 하는 방에 같이 있었던 것 같다)

 

이 친구는 내가 주사위의 눈을 알아맞히는 것을 도와주기 위해

"주사위 눈이 홀수이다" 라는 힌트를 나에게 준다.

이 이야기를 들은 후에는 당연하게도 5의 눈이 나올 확률을 1/3로 수정하는 것이 합리적이다.


왜냐하면 주사위의 눈이 1,3,5 중 하나라는 것을 확실하게 알 수 있기 때문이다.

여기서 "A"라는 사건에 대해 어떤 관련된정보(B가 참임)를 접하고 나서

업데이트된 확률, 즉 1/3을 사후확률이라 부르자.

 



 

사실 위 방식과 같이 직관적인 추론을 통해 1/3이라는 사후확률값을 쉽게 얻을 수 있지만,

이 값은 베이즈정리를 통해서도 얻을 수 있다.

사후확률을 P(A|B)로 나타내기로 하면 베이즈정리에 의해

 P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)이다.


여기서 P(B|A)는 '우도'이다.

즉 A(주사위 눈이 5)가 참일 때 B(주사위 눈이 홀수)가 참일 확률이다.

그런데 만약 우리가 주사위의 눈이 5라면 그것이 홀수임은 자명하다.

즉 P(B|A)=1이다. 그리고 P(B)=1/2이다(주사위를 던졌을 때 홀수가 나올 확률).

따라서 위 식은 다음과 같이 변하게 된다.
P(A|B)=1*(1/6) / (1/2) = 1/3

위 식은 B가 참임을 확인하였을 때

A에 대한 믿음의 정도(degree of belief)가 1/3로 변함을 알려준다.
사실 베이지안통계의 추론방식이란

위 사례의 변형에 지나지 않는다.