이 세상 수많은 일들 가운데 우연의 지배를 받는 것이 많다.

주사위를 던져 나오는 점의 개수를 생각해 보면, 어떤 개수이든 같은 정도의 확률로 일어나게 된다.

동전을 던져 앞면이 나오는지 뒷면이 나오는지를 따져 보아도 마찬가지이다.

주사위나 동전의 경우 모든 경우의 확률이 같으므로 균일분포(uniform distribution)라 부른다.

반면, 어떤 현상의 경우 일어나는 확률이 모두 같지는 않을 수도 있다. 예를 들어
윷놀이에서 모나 윷이 나올 확률은 도, 개, 걸이 나올 확률보다 훨씬 낮다. 이때 각각의 경우가 일어날
확률이 어떤지를 나타내는 것이 확률분포이다.
       

윷의 경우, 각각의 윷짝이 엎어질 확률이 p, 뒤집어질 확률이 q(=1-p)라 하고, 도, 개, 걸, 윷, 모가 나올 확률을
구하여 보자. 윷이나 모가 나올 확률은 간단하다. 모든 윷짝이 똑 같은 모양이 되어야 하므로, 모가 나올 확률은
p⁴, 윷이 나올 확률은 q⁴이다. 도가 나오려면, 네 개의 윷짝 가운데 하나만이 뒤집어지고
나머지는 엎어져야 하므로, 어느 것이 뒤집어지느냐에 따라 네 가지 가능성이 있다. 즉, 도가 나올 확률은
4p³q가 된다. 개가 나오려면, 네 개의 윷짝 가운데 어느 두 개가 엎어지느냐에 따라 위의 그림과 같이
모두 6 가지 경우가 나온다. 따라서 확률은 6p²q²가 된다.

걸의 경우, 도와 마찬가지로 네 가지 가능성이 있으므로, 확률은 4pq³이 된다. 일일이 세어보고 계산하는 것은
매우 번거롭지만, 각 항은 차례대로 윷, 걸, 개, 도, 모가 나올 확률이 된다. 전개의 결과는 아래와 같다.
(p+q)⁴ = ₄C₀p⁰q⁴ + ₄C₁p¹q³ + ₄C₂p²q² + ₄C₃p³q¹ + ₄C₄p⁴q⁰
이처럼 p와 q의 두 항으로 이루어진 식의 거듭제곱을 전개한 것을 '이항정리(binomial theorem)'라고 하며,
이런 점에서 윷을 던지는 경우와 같은 확률분포를 이항분포(binomial distribution)라 한다.

요약하면, 윷가락의 단면이 반원일 때의 각각의 확률은, 도와 걸은 ₄C₁(0.5⁴) = 4/16, 개는 ₄C₂(0.5⁴) = 6/16,
윷(소)과 모(말)는 ₄C₀(0.5⁴) = 1/16 즉, 개(6/16) > 도(4/16) = 걸(4/16) > 윷(1/16) = 모(1/16) 순이되며
평면이 나올비율이 60% 정도인 실제 윷은, 걸(52%) > 개(35%) > 도(15%) > 윷(13%) > 모(3%) 순이 된다